1 $\lambda $矩阵关键概念 $\lambda$矩阵定义 设$a_{ij}(\lambda)(1\leq i \leq m,1\leq j \leq n)$是数域$P$上的多项式，以$a_{ij}(\lambda)$为元素的$m\times n$矩阵 成为多项式矩阵或$\lambda$矩阵，多项式$a_{ij}(\lambda)(1\leq i \leq m,1\leq j \leq n)$中的最高次数成为$A(\lambda)$的次数，则数字矩阵显然是$\lambda$矩阵，为$0$次；数字矩阵$A$的特征矩阵$\lambda I-A$就是$1$次$\lambda$矩阵。 设$A(\lambda)$矩阵的次数为$k$，则$A(\lambda)$可表示为 其中$A_i(0\leq i \leq k)$是数字矩阵，并且$A_k\neq 0$。 设$a_{ij}(\lambda)(1\leq i \leq m,1\leq j \leq n)$是数域$P$上的多项式，以$a_{ij}(\lambda)$为元素的$m\times n$矩阵 成为多项式矩阵或$\lambda$矩阵，多项式$a_{ij}(\lambda)(1\leq i \leq m,1\leq j \leq n)$中的最高次数成为$A(\lambda)$的次数，则数字矩阵显然是$\lambda$矩阵，为$0$次；数字矩阵$A$的特征矩阵$\lambda I-A$就是$1$次$\lambda$矩阵。 设$A(\lambda)$矩阵的次数为$k$，则$A(\lambda)$可表示为 其中$A_i(0\leq i \leq k)$是数字矩阵，并且$A_k\neq 0$。 $\lambda$矩阵性质 $\lambda$矩阵也可以进行初等变换 若$A(\lambda)$可以经过有限次初等变换化为$B(\lambda)$，则称$\lambda$矩阵$A(\lambda)$和$B(\lambda)$相抵，记为$A(\lambda)\cong B(\lambda)$ $\lambda$矩阵也可以进行初等变换 若$A(\lambda)$可以经过有限次初等变换化为$B(\lambda)$，则称$\lambda$矩阵$A(\lambda)$和$B(\lambda)$相抵，记为$A(\lambda)\cong B(\lambda)$ $\lambda$矩阵定理 设$A(\lambda)=(a_{ij}(\lambda))\in P[\lambda]^{m\times n}$，且$rank(A(\lambda))=r$，则$A(\lambda)$相似于如下的对角矩阵 其中$d_i(\lambda)(1\leq i \leq r)$是首项系数为$1$的多项式，并且$d_i(\lambda)|d_{i+1}(\lambda)(1\leq i \leq r-1)$ 设$A(\lambda)=(a_{ij}(\lambda))\in P[\lambda]^{m\times n}$，且$rank(A(\lambda))=r$，则$A(\lambda)$相似于如下的对角矩阵 其中$d_i(\lambda)(1\leq i \leq r)$是首项系数为$1$的多项式，并且$d_i(\lambda)|d_{i+1}(\lambda)(1\leq i \leq r-1)$ $Smith$标准型 $\lambda$矩阵定理中的对角矩阵就称为$\lambda $矩阵$A(\lambda)$在相抵下的标准型或者$Smith$标准型。 $Smith$标准型是唯一的 $\lambda$矩阵定理中的对角矩阵就称为$\lambda $矩阵$A(\lambda)$在相抵下的标准型或者$Smith$标准型。 不变因子、行列式因子、初等因子 重要性质：相抵的$\lambda$矩阵具有相同的秩、相同的各阶行列式因子、相同的不变因子 $Smith$标准型“主对角线”上非零元$d_1(\lambda),d_2(\lambda),\dots,d_r(\lambda)$称为$A(\lambda)$的 不变因子 ； $A(\lambda)$的全部$k$阶子式的最大公因式称为$A(\lambda)$的 $k$阶行列式因子 ，记为$D_k(\lambda)$； 其中$d_k(\lambda)=\frac{D_{k+1}(\lambda)}{D_k(\lambda)}$ 初等因子是从不变因子分解得来的，具体如下： 假设不变因子为 则所有指数大于$0$的因子$(\lambda -\lambda _ {j})^ {e_ {ij}}(1\leq i \leq r,1\leq j\leq k)$称为$\lambda $矩阵$A(\lambda)$的 初等因子 不变因子、行列式因子、初等因子 重要性质：相抵的$\lambda$矩阵具有相同的秩、相同的各阶行列式因子、相同的不变因子 $Smith$标准型“主对角线”上非零元$d_1(\lambda),d_2(\lambda),\dots,d_r(\lambda)$称为$A(\lambda)$的 不变因子 ； $A(\lambda)$的全部$k$阶子式的最大公因式称为$A(\lambda)$的 $k$阶行列式因子 ，记为$D_k(\lambda)$； 其中$d_k(\lambda)=\frac{D_{k+1}(\lambda)}{D_k(\lambda)}$ 初等因子是从不变因子分解得来的，具体如下： 假设不变因子为 则所有指数大于$0$的因子$(\lambda -\lambda _ {j})^ {e_ {ij}}(1\leq i \leq r,1\leq j\leq k)$称为$\lambda $矩阵$A(\lambda)$的 初等因子 定义 设$A$为$n$阶数字矩阵，其特征矩阵$\lambda I-A$的行列式因子，不变因子和初等因子分别称为矩阵$A$的行列式因子，不变因子和初等因子。 设$A$为$n$阶数字矩阵，其特征矩阵$\lambda I-A$的行列式因子，不变因子和初等因子分别称为矩阵$A$的行列式因子，不变因子和初等因子。 相似的充分必要条件 $n$阶矩阵$A$和$B$相似$\Longleftrightarrow $存在一个可逆矩阵 $P$，使得$B = P^{-1} A P $$\Longleftrightarrow $它们的特征矩阵$\lambda I-A$和$\lambda I-B$相抵$\Longleftrightarrow $它们具有相同的行列式因子或者它们有相同的不变因子$\Longleftrightarrow $它们具有相同的初等因子 $n$阶矩阵$A$和$B$相似$\Longleftrightarrow $存在一个可逆矩阵 $P$，使得$B = P^{-1} A P $$\Longleftrightarrow $它们的特征矩阵$\lambda I-A$和$\lambda I-B$相抵$\Longleftrightarrow $它们具有相同的行列式因子或者它们有相同的不变因子$\Longleftrightarrow $它们具有相同的初等因子 Jordan 块和 Jordan 标准型 Jordan 块分 上Jordan 块和 下Jordan 块，我们一般用上 Jordan 块。 如果$(\lambda -a)^d$是$A$的初等因子，我们则可以构建一个$d\times d$的矩阵形式 这个矩阵我们称为 上Jordan 块。 下Jordan 块则为 那由若干个 Jordan 块为对角块组成的块对角矩阵称为 Jordan 标准型 Jordan 块和 Jordan 标准型 Jordan 块分 上Jordan 块和 下Jordan 块，我们一般用上 Jordan 块。 如果$(\lambda -a)^d$是$A$的初等因子，我们则可以构建一个$d\times d$的矩阵形式 这个矩阵我们称为 上Jordan 块。 下Jordan 块则为 那由若干个 Jordan 块为对角块组成的块对角矩阵称为 Jordan 标准型 性质 Jordan 块被它的初等因子唯一确定 Jordan 标准型的全部初等因子由它的全部 Jordan 块的初等因子组成 每个$n$阶矩阵都相似于它的 Jordan 标准型 Jordan 标准型不唯一，其内部 Jordan 块的顺序可以随意，但每个 Jordan 块唯一，如果除去其中 Jordan 块排列的次序外是被矩阵$A$唯一确定的 Jordan 块被它的初等因子唯一确定 Jordan 标准型的全部初等因子由它的全部 Jordan 块的初等因子组成 每个$n$阶矩阵都相似于它的 Jordan 标准型

Jordan 标准型不唯一，其内部 Jordan 块的顺序可以随意，但每个 Jordan 块唯一，如果除去其中 Jordan 块排列的次序外是被矩阵$A$唯一确定的 求$n$阶方阵$A$的 Jordan 标准型 得到$(\lambda I-A)$矩阵，求它的各阶行列式因子$D_k(\lambda)$ 根据公式$d_1(\lambda)=D_1(\lambda)$，$d_k(\lambda)=\frac{D_{k+1}(\lambda)}{D_k(\lambda)}(2\leq k\leq n)$得到不变因子 从不变因子分解得到初等因子 根据初等因子构成 Jordan 块$J_i$，再组成 Jordan 标准型$J$ 求$n$阶方阵$A$的 Jordan 标准型 得到$(\lambda I-A)$矩阵，求它的各阶行列式因子$D_k(\lambda)$ 根据公式$d_1(\lambda)=D_1(\lambda)$，$d_k(\lambda)=\frac{D_{k+1}(\lambda)}{D_k(\lambda)}(2\leq k\leq n)$得到不变因子 根据初等因子构成 Jordan 块$J_i$，再组成 Jordan 标准型$J$ 求可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=J$ 根据上一个方法求出矩阵$A$的 Jordan 标准型$J$ 左右两边左乘$P^{-1}$变换公式得到$AP=PJ$ 设$P=(P_1,..,P_n)$，根据公式构造 其中$J_{(i,i+1)}$的取值只能为$0\space or\space 1$，$J_{ii}$的取值即为对角线元素。根据方程从而解得$P$。 注意：$P$不唯一，但是我们在设$P$元素的时候一定要保证$P$可逆，即$rank(P)=n$。可以自己进行初等变换验证一下是否正确！ 求可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=J$ 根据上一个方法求出矩阵$A$的 Jordan 标准型$J$ 根据上一个方法求出矩阵$A$的 Jordan 标准型$J$ 左右两边左乘$P^{-1}$变换公式得到$AP=PJ$ 左右两边左乘$P^{-1}$变换公式得到$AP=PJ$ 设$P=(P_1,..,P_n)$，根据公式构造 其中$J_{(i,i+1)}$的取值只能为$0\space or\space 1$，$J_{ii}$的取值即为对角线元素。根据方程从而解得$P$。 设$P=(P_1,..,P_n)$，根据公式构造 其中$J_{(i,i+1)}$的取值只能为$0\space or\space 1$，$J_{ii}$的取值即为对角线元素。根据方程从而解得$P$。 注意：$P$不唯一，但是我们在设$P$元素的时候一定要保证$P$可逆，即$rank(P)=n$。可以自己进行初等变换验证一下是否正确！ Python 求解$J$和可逆矩阵$P$ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 import numpy as np from sympy import Matrix import pprint A = np . array ([[ 2 , 2 , 1 ], [ - 2 , 6 , 1 ], [ 0 , 0 , 4 ]]) A = Matrix ( A ) P , J = A . jordan_form () # 验证P^-1 * A * P = J assert P ** - 1 * A * P == J , "P^-1 * A * P != J" pprint . pprint ( "P:" , P ) pprint . pprint ( "J:" , J ) Python 求解$J$和可逆矩阵$P$ 4 Cayley-Hamilton 定理与最小多项式 Cayley-Hamilton 定理 设$A$是$n$阶矩阵，$f(\lambda)$是$A$的特征多项式，则$f(A)=0$ Cayley-Hamilton 定理 设$A$是$n$阶矩阵，$f(\lambda)$是$A$的特征多项式，则$f(A)=0$ 相关定义 设$A$为$n$阶矩阵，如果存在多项式$\varphi(\lambda)$使得$\varphi(A)=0$，则称$\varphi(\lambda)$为$A$的 化零多项式 。易知$f(\lambda)$为$A$的化零多项式，且$g(\lambda)f(\lambda)$也为$A$的化零多项式，故$A$的化零多项式有无穷多个 $A$的所有化零多项式中，次数最低，且首项系数为$1$的多项式称为$A$的最小多项式。 $A$的最小多项式是唯一的 设$A$为$n$阶矩阵，如果存在多项式$\varphi(\lambda)$使得$\varphi(A)=0$，则称$\varphi(\lambda)$为$A$的 化零多项式 。易知$f(\lambda)$为$A$的化零多项式，且$g(\lambda)f(\lambda)$也为$A$的化零多项式，故$A$的化零多项式有无穷多个 $A$的所有化零多项式中，次数最低，且首项系数为$1$的多项式称为$A$的最小多项式。 $A$的最小多项式是唯一的 结论 $A$的最小多项式就是$d_n(\lambda)$，即$A$的第$n$个不变因子 $A$的最小多项式就是$d_n(\lambda)$，即$A$的第$n$个不变因子 【矩阵论】Chapter 1—向量空间知识点总结复习 【矩阵论】Chapter 2—内积空间知识点总结复习 【矩阵论】Chapter 3—线性映射和线性变换知识点总结复习 【矩阵论】Chapter 4—特征值和特征向量知识点总结复习 【矩阵论】Chapter 6—矩阵分解知识点总结复习（附Python实现）